巢湖学院2019年普通专升本公共课《高等数学》考试大纲

精彩精英

复习要求

参加专升本入学考试的考生应按本大纲的要求， 掌握 《高等数学》课程中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。

考试内容

A、函数、极限和连续

(一)函数、极限

1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像；

2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性；

3．理解函数 y =ƒ(x)与其反函数y =ƒ-1(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数；

4．掌握函数的四则运算与复合运算；掌握复合函数的复合过程；

5．掌握基本初等函数的性质及其图像；

6．理解初等函数的概念；

7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。

(二)极限

1．理解极限的概念，能根据极限概念描述函数的变化趋势；理解函数在一点处极限存在的充分必要条件， 会求函数在一点处的左极限与右极限；

2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则；

3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系；会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)；会运用等价无穷小量替换求极限；

4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限，并能用这两个重要极限求函数的极限。

(三)连续

1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系；会判断分段函数在分段点的连续性；

2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型；

3．会利用初等函数的连续性求函数的极限；

4．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有界性定理)，介值定理(零点存在定理)；会运用介值定理推证一些简单命题。

B、一元函数微分学

(一)导数与微分

1．理解导数的概念及其几何意义，了解左导数与右导数的定义，理解函数的可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数；

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程；

3．熟记导数的基本公式，会运用函数的四则运算求导法则，复合函数求导法则和反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数；

4．会求隐函数的导数；掌握对数求导法与参数方程求导法；

5．理解高阶导数的概念，会求一些简单的函数的n阶导数；

6．理解函数微分的概念，掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性，理解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

(二)中值定理及导数的应用

1．理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理；会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式；

2．掌握洛必达(L’Hospital)法则，会用洛必达法则求以下型未定式的极限。

3．会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式；

4．理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些

简单的应用问题；

5．会判定曲线的凹凸性；

6．会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)；

7．会描绘一些简单的函数的图形。

C、一元函数积分学

(一)不定积分

1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质；

2．熟记基本不定积分公式；

3．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(代入换元与一些简单的根式换元)；

4．掌握不定积分的分部积分法；

5．会求一些简单的有理函数的不定积分。

(二)定积分

1．理解定积分的概念与几何意义,掌握定积分的基本性质；

2．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法；

3．掌握牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式；

4．掌握定积分的换元积分法与分部积分法；

5．理解无穷区间上有界函数的广义积分的概念，掌握其计算方法；

6．会用定积分计算平面图形的面积。

D、无穷级数

(一)数项级数

1．理解级数收敛、级数发散的概念和级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件；

2．熟记几何级数，调和级数的敛散性，会用正项级数的比较审敛法与比值审敛法判别正项级数的敛散性；

3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；会用莱布尼(Leibnitz)判别法判别交错级数的敛散性。

(二)幂级数

1．理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念；会求幂级数的收敛半径与收敛区间；

2．掌握幂级数和、差、积的运算；

3．掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、和函数可逐项求导及和函数可逐项积分；

4．熟记的麦克劳林(Maclaurin)级数，会将一些简单的初等函数展开的幂级数。

E、常微分方程

(一)一阶常微分方程

1．理解常微分方程的概念，理解常微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念；

2．掌握可分离变量微分方程与齐次方程的解法；

3．会求解一阶线性微分方程。6

(二)二阶常系数线性微分方程

1．理解二阶常系数线性微分方程解的结构；

2．会求解二阶常系数齐次线性微分方程。

F、向量代数与空间解析几何

(一)向量代数

1．理解向量的概念，掌握向量的表示法，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影；

2．掌握向量的线性运算(加法运算与数量乘法运算)，会求向量的数量积与向量积；

3．会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件。

(二)平面与直线

1．会求平面的点法式方程与一般式方程；会判定两个平面的位置关系；

2．会求点到平面的距离；

3．会求直线的点向式方程、一般式方程和参数式方程；会判定两条直线的位置关系；

4．会求点到直线的距离，两条异面直线之间的距离；

5．会判定直线与平面的位置关系。

参考书目

高等数学（第七版，上、下册） ，同济大学应用数学系主编 高等教育出版社

考试细则

《高等数学》试卷包括选择题、填空题、解答题和证明题题型。选择题和填空题占总分的40％左右，解答题和证明题占总分的 60％左右。

考试不允许考生携带计算器。考试形式为闭卷书面。